不定积分是求导的逆运算，很多同学求导很溜，一积分就懵。换元积分法是核心方法，分第一换元（凑微分）和第二换元。掌握这两种，大部分基本积分都能处理。积分和求导方向相反，但思路是一脉相承的。
第一换元：凑微分
把被积式的一部分凑成某个函数的微分。比如 ∫2x·e^(x²)dx，认出 2x dx 是 d(x²)，原积分变 ∫e^u du。关键是「认得出微分式」。宏途兴学老师让学员背熟常见微分对：d(x²)=2xdx、d(sinx)=cosx dx，认得快才凑得准。
第二换元：令新变量
含根号的式子常用，比如 √(a²-x²) 令 x=a sin t。换元后积分算完，再代回原变量。三角函数代换是重点，尤其根号下「平方减平方」「平方和」两类，对应不同代换。
别忘常数 C
不定积分结果必须加任意常数 C，这是阅卷硬扣分点。算完习惯性写 +C，别漏。有个学员每次都忘，老师让他把「+C」写成红色，提醒自己，后来再没漏。
第一换元（凑微分）
第一换元核心是「凑出 d(...)」。比如 ∫2x·e^{x²}dx，把 2x dx 凑成 d(x²)，变成 ∫e^{x²}d(x²)=e^{x²}+C。宏途兴学高数老师强调「微分凑得好，积分跑不了」。你平时熟记常见微分：d(x²)=2xdx、d(sin x)=cos x dx，看到就能凑。这是积分里最常用的方法，练熟占大便宜。
第二换元（去根号）
遇到 √(a²-x²)、√(x²+a²) 这类根号，用三角代换去掉根号：令 x=a sin t 或 x=a tan t。宏途兴学老师让学员背「根号里是平方和用 tan，平方差用 sin」。有个学员一见根号就懵，按这套代换练了十题，基本能认。你见到根号先判断类型再选代换，别硬算，换元后式子往往清爽很多。
常见凑微分清单
第一换元靠「熟」：d(x²)=2xdx、d(1/x)=-1/x²dx、d(e^x)=e^x dx、d(lnx)=1/x dx、d(sinx)=cosx dx。宏途兴学高数老师让学员把这组微分倒背如流。你见到积分式先扫「能不能凑出这些 d(...)」，能凑就一套到底，比硬算快十倍。
换元后别忘回代
第二换元算完要回代原变量：三角代换后用语三角恒等式换回 x。宏途兴学老师见过太多人算完 t 忘换回 x，前功尽弃。你换元时在草稿标清「x=...t...」，算完按图回代，步骤才完整。回代这步别省，省了就是零分。
宏途兴学高数讲义把这俩换元叫「正凑反代」：能凑就凑，凑不出就令新变量。你练的时候也先试凑微分，三秒看不出再换元。把常见凑微分式列一张表，天天看，遇到题就能条件反射。换元难在「看出来该换什么」，这只能靠多见题。第一类和第二类换元什么时候用哪个，宏途兴学专升本分开放着讲，不容易混。
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